中2数学:2角が等しい三角形→二等辺三角形の長さを用いた証明

ポイント

今回の問題は、ちょっといつもと違う!

わかれば簡単なんだけど、いつものように三角形の合同条件を使って示す問題ではないんだ。

考え方を整理しておくね!!

三角形の合同条件を使うと・・?

まず、FB=FCを証明するのがゴールだとわかるよね?
↓↓

いつもなら、こう考えるんじゃないかな・・・?

△EBF△DCFが合同を示す → FB=FC

でもね・・・

この考え方は、今回はダメ!!

なぜなら、

与えられた仮定だけでは、合同が示せないから。

確かに黄色のは同じ(対頂角)だけど、そこで終わり。(錯角や同位角もないね?)

仮定の条件では、これ以上「同じ長さの辺」や「同じ大きさの角度」を見つけることができない。

△EBF△DCFが合同を示すことは不可能なんだ!!

二等辺三角形の条件を使う

じゃあどうする・・・?路線変更!

△FBCに注目!これは二等辺三角形なんだ。

なぜなら△ABCが二等辺三角形だから

∠ABC=∠ACB

そして

●は等しいので、も等しくなる

(※詳しくは、下の解法をみてね!)

△FBCが二等辺三角形だとわかったので、FB=FCとなる。

二等辺三角形であることを証明するには?

それから、もう1つポイント。

ある三角形が二等辺三角形であることを証明するには、1or2のどちらかを示せばOKなんだ。

  1. 2つの辺が等しい
  2. 2つの角が等しい

今回の問題は、②で示すパターンだね!

解法

じゃあ、実際の解法の流れを説明していくよ。

  • ステップ1:「仮定」と「結論」を整理する
  • ステップ2:「仮定」を図示する
  • ステップ3:何を示せば「結論」にたどりつけるか考える

仮定と結論

仮定:AB=AC、∠ABD=ACE

結論:FB=FC

仮定(+わかったこと)を図示

AB=ACということは、△ABCは二等辺三角形である。

二等辺三角形の底角は等しいから、以下のように図示できる。

結論への筋道

∠ABC=∠ACB・・・①

仮定から、∠ABD=∠ACE・・・②

でね、上の図のように、同士は等しいことを示すんだけど、これを式で表さないといけない。

みんなここに、ちょっと抵抗があるみたいだね。

イコール赤の扇マイナス」という式を、左の底角と右の底角で、それぞれ作ってみよう。


∠FBC∠ABC – ∠ABD


∠FCB∠ACB – ∠ACE

 

整理すると

  • ∠FBC∠ABC – ∠ABD
  • ∠FCB∠ACB – ∠ACE

で、∠FBC∠FCBを示したいわけだよね??

①②から、

∠FBC∠ABC – ∠ABD=∠ACB – ∠ACE = ∠FCB

よって、

∠FBC∠FCB

これわかる・・・?こういうこと
↓↓

すると、∠FBC

これって、∠FCBと同じじゃん!ってことで、∠FBC=∠FCBになるわけ。

 

で、2つの角が等しいので、△FBCは二等辺三角形である。

よって、FB=FC・・・(終わり)

 

ちょっと長かったね?次はガラッと変わって「逆」を学ぶよ!とても簡単なので息抜きだ!

中2数学:逆(仮定と結論の入れ替え、反例の示し方)

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