中2数学:二等辺三角形の基礎(角の大きさ、二等分線、合同を用いた証明)

二等辺三角形の性質

二等辺三角形とは、

  • 定義:2つの辺が等しい三角形

三角形を見て、辺の長さが2つ同じであれば、それは二等辺三角形だよ!

二等辺三角形の用語

等しい2つの辺が屋根のようになっている状態で考えるよ!

このとき、3つの呼び名を覚えて欲しい!

  • 底辺:下の辺(これは知ってるね)
  • 底角:底辺の両端にある角
  • 頂角:頂上にある角

丸暗記すること!

二等辺三角形で覚えておくべきこと

  • 2つの辺の長さが等しい
  • 2つの底角が等しい

まぁ、見たまんまなんだけどね。きちんと覚えておこうね!!

直角二等辺三角形

二等辺三角形を押さえつけて、背を小さくしていくと・・・・

あるところまで小さくすると、頂角が90°になる。

この二等辺三角形を、直角二等辺三角形と呼ぶよ。

二等辺三角形の証明問題

それじゃあ練習問題を1問解いてみようね。二等辺三角形を含む証明問題だよ。

解法のステップ

  • ステップ1:「仮定」と「結論」を整理する
  • ステップ2:「仮定」を図示する
  • ステップ3:何を示せば「結論」にたどりつけるか考える

仮定と結論の整理

  • 仮定:AB=AD、∠Aは二等分されている
  • 結論:線分ACは底辺BDを垂直に2等分する

仮定を図示

結論への筋道

線分ACは底辺BDを垂直に2等分することを証明する必要があるね

ポイントは垂直に2等分というところ。

ただの2等分ではなく、垂直じゃないとダメなんだ。

だから示すべきは、この2つなんだ。

  1. BC=DC
  2. ∠BCA=∠DCA=90°

 

じゃあ、この結論を示すためには、どうしたらいいかを考えてみよう!

先に答え(証明の筋道)を言っちゃうよ!

  • 2つの三角形が合同
  • だからBC=DC
  • ∠BCA=∠DCA=90°

 

なぜこう考えるか?みていこうね。

まず、BC=DCを示す

まず、三角形が2つあるので、三角形の合同条件を使えば良さそうだよね。

線分ACは、2つの三角形(△ABCと△ADC)で共通だよ。

分かっていることを整理すると

  • AB=AD・・・①
  • ACは共通・・・②
  • ∠BAC=∠DAC・・・③

よって、①~③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

△ABC≡△ADC

合同な図形では対応する辺が等しいので

BC=DC(←結論の1つ目が示されたよ!)

次に、∠BCA=∠DCA=90°を示す

合同な図形では対応する角が等しいので

∠BCA=∠DCA

さらに∠BCA +∠DCA=180°(一直線上なので)なので、

∠BCA=∠DCA=90°(←結論の2つ目が示されたよ!)

 

よって、線分ACは、底辺BDを垂直に2等分する・・・(終わり)

 

次の問題は、二等辺三角形の証明問題だよ!

中2数学:二等辺三角形の証明問題

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