中2数学:直角三角形の合同条件と証明問題

直角三角形の合同

用語:斜辺

直角と向かい合っている、長い辺のことを「斜辺(しゃへん)」と呼ぶよ。

合同条件

2つの直角三角形が合同であることを示すためには、次の2つのいずれかを示せばOKだよ!

  1. 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
  2. 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

なんでこれが合同条件??

まず①の方ね。下の図のようにの角度も同じになるよね??

だって、=180° -(+90°)だから。

ってことは、通常の三角形の合同条件「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」を使えるね。

だから直角三角形の場合は、「斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい」が合同条件になるんだ。

 

じゃあ②のほう。

  1. 斜辺が等しくて
  2. 他の1辺も等しい
  3. 直角を作る

この3つを満たすと、必ず合同になるよ!やってみて!3.の直角を作るってとこがポイントね。

直角三角形の合同条件を使う証明問題

ポイント

まず、わかっていること、仮定からわかることを図示してみよう。

結論は「AEは∠BACを2等分する」なので、この証明をする必要があるね??

つまり、∠CAE=∠DAEを証明できればゴールなんだ!

じゃ、どうするか・・・?

今まで学んできたように、三角形の合同条件を使うのが良さそうだ!

でもね・・・もう一回図を見て。辺AEは共通なんだけど、それ以外で同じ辺や角がないんだ。。。

 

で、ここで気が付く必要がある。△AECと△AEDは直角三角形であることを!!

解法

仮定より

∠ACE=∠ADE=90°・・・①(直角三角形だよ!ということを示してあげる)

AC=AD・・・②

AEは共通でAE=AE・・・③

①②③より、直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいので

△AEC≡△AEDである。合同な図形は対応する角が等しいので

∠CAE=∠DAE

よって、AEは∠BACを2等分する・・・(終わり)

 

 

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