中2数学:多角形の内角の和・外角の和まとめ

多角形の内角の和

みんなが今まで学んできたのは、「三角形」の内角外角だったね??

そして、三角形の内角の和は360°だったね??

じゃあ、四角形の内角の和は??五角形の内角の和は??・・・さぁ学習していこう!!

四角形の内角の和

答えは、360°なんだ。

なんでかって??

それは、2つの三角形を組み合わせて、内角の様子を観察するとわかるよ!!

  • の内角の和:180°
  • の内角の和:180°
  • +の内角の和:360°180°+180°

緑+赤の内角の和は360°だよね?これって、結局、四角形の内角の和のことを言っているわけ!

ほんじゃ次!

五角形の内角の和

答えは、540°なんだ。

同じように五角形の内角の和を考えてみる!

四角形と全く同じやり方で、五角形を三角形に分けてみよう!!こんな感じで↓↓

すると、

  • の内角の和:180°
  • の内角の和:180°
  • の内角の和:180°
  • ++の内角の和:540°180°+180°+180°

ほにゃらら角形の内角の和は??

じゃあ、ほにゃらら角形の内角の和はどうなるか?考えてみよう!

ほにゃらら角形は表現しにくいので、ここでは「★角形」と表現していくよ!

始めに答えを言ってしまおう!

「★角形」の内角の和は、180°×(★- 2)だよ!

これまで考えてきたことを表にしてみよう!

【内角の和】

3角形 4角形 5角形 ★角形
180° 360° 540° 180°×(★- 2)

5角形だったら、180°×(5-2)をすればいいんだ。ちゃんと540度になるよね?

問題

理解度を確かめる基礎的な問題を解いてみよう!

①12角形の内角の和は?

「★角形」の内角の和は、180°×(★- 2) だったね?

だから、12角形の内角の和は

180°×(12 – 2)=1800°・・・(答え)

②正12角形の1つの内角の大きさは?

正12角形というのは、内角が全て同じ大きさだね?

(正3角形は、内角がすべて同じ(60°)というようにね!)

だから、正12角形の1つの内角の大きさは

1800°÷12=150°・・・(答え)

③内角の和が、1260°である多角形は何角形?

「★角形」の内角の和は、180°×(★- 2)だったね??

★角形では、ダサいので、求める多角形を「n角形」としてみよう。

内角の和が1260°なので、次の式が成り立つ

180°×(n- 2)=1260°

よってn=9、つまり求める多角形は、9角形・・・(答え)

④へんてこ図形の内角の和は?

わかる??

これ、4角形だよね?辺が4つあるから。

4角形なので、内角の和は、180°×(4 – 2)=360°・・・(答え)

どんなヘンテコ図形でも、(曲線とかが存在しない限り)内角の和の式は、当てはめてOKなんだ!

多角形の外角の和

多角形の外角の和は360°になる(どんな多角形でも360°)

例えば四角形なら

ちなみに、1つの頂点に対して、外角は2パターンあるよ!

例えば左上の頂点では

どちらを選んでも、同じ頂点の外角は等しいよ!(対頂角だから!!)

外角の和をド忘れしてしまったら・・?

多角形の外角の和は360° と覚えたけど、もしも、忘れてしまったら・・?

多角形ってことは、3角形も含まれる。ってことで、正三角形を考えてみればいいんだ!

正三角形の1つの内角は60°、外角は120°なので、

外角の和は120°×3=360°

「あっ、そうそうそうそう、外角の和は360°だったね~」 と思い出そう!!

  • 多角形の外角の和を忘れたら、正三角形で検証せよ!!

問題

①∠xを求めよ

図に示された角度は、全て三角形の外角だね?

三角形の外角の和は360°なので

∠x=360° -(114°+108°)=138°・・・(答え)

②∠yを求めよ

同じく、図に示された角度は、全て四角形の外角だね?

四角形の外角の和は360°なので

∠y=360° -(119°+84°+82°)=75°・・・(答え)

③正12角形の1つの内角の大きさは?

解法1:外角を用いた解法

正12角形の外角の大きさは全て等しく、外角の和は360°。

だから、1つの外角の大きさは360°÷12=30°

1つの頂点において、内角+外角=180°となるので

1つの内角の大きさは 180°-30°=150°・・・(答え)

解法2:内角を直接求める解法

最初にやったことを思い出して!

「★角形」の内角の和は、180°×(★- 2)だったね

じゃあ、正12角形の内角の和は、180°×(12 – 2)=1800°だね??

正12角形は、すべての内角が等しいので、1つの内角は

1800°÷12=150°・・・(答え)

 

さあ、次の問題!合同だ!三角形の合同条件まとめ

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