もくじ
多角形の内角の和
みんなが今まで学んできたのは、「三角形」の内角外角だったね？？
そして、三角形の内角の和は360°だったね？？
じゃあ、四角形の内角の和は？？五角形の内角の和は？？・・・さぁ学習していこう！！
四角形の内角の和
答えは、360°なんだ。
なんでかって？？
それは、２つの三角形を組み合わせて、内角の様子を観察するとわかるよ！！
- 緑の内角の和：180°
- 赤の内角の和：180°
- 緑+赤の内角の和：360°（180°+180°）
緑+赤の内角の和は360°だよね？これって、結局、四角形の内角の和のことを言っているわけ！
ほんじゃ次！
五角形の内角の和
答えは、540°なんだ。
同じように五角形の内角の和を考えてみる！
四角形と全く同じやり方で、五角形を三角形に分けてみよう！！こんな感じで↓↓
すると、
- 緑の内角の和：180°
- 紫の内角の和：180°
- 赤の内角の和：180°
- 緑+紫+赤の内角の和：540°（180°+180°+180°）
ほにゃらら角形の内角の和は？？
じゃあ、ほにゃらら角形の内角の和はどうなるか？考えてみよう！
ほにゃらら角形は表現しにくいので、ここでは「★角形」と表現していくよ！
始めに答えを言ってしまおう！
「★角形」の内角の和は、180°×(★- 2)だよ！
これまで考えてきたことを表にしてみよう！
【内角の和】
| ３角形 | ４角形 | ５角形 | ★角形 |
| 180° | 360° | 540° | 180°×(★- 2) |
５角形だったら、180°×（5-2）をすればいいんだ。ちゃんと540度になるよね？
問題
理解度を確かめる基礎的な問題を解いてみよう！
①12角形の内角の和は？
「★角形」の内角の和は、180°×(★- 2) だったね？
だから、12角形の内角の和は
180°×(12 – 2)=1800°・・・（答え）
②正12角形の１つの内角の大きさは？
正12角形というのは、内角が全て同じ大きさだね？
（正３角形は、内角がすべて同じ（60°）というようにね！）
だから、正12角形の１つの内角の大きさは
1800°÷12=150°・・・（答え）
③内角の和が、1260°である多角形は何角形？
「★角形」の内角の和は、180°×(★- 2)だったね？？
★角形では、ダサいので、求める多角形を「n角形」としてみよう。
内角の和が1260°なので、次の式が成り立つ
180°×(n- 2)＝1260°
よってn=9、つまり求める多角形は、9角形・・・（答え）
④へんてこ図形の内角の和は？
わかる？？
これ、４角形だよね？辺が４つあるから。
４角形なので、内角の和は、180°×(4 – 2)=360°・・・（答え）
どんなヘンテコ図形でも、（曲線とかが存在しない限り）内角の和の式は、当てはめてOKなんだ！
多角形の外角の和
多角形の外角の和は360°になる（どんな多角形でも360°）
例えば四角形なら
ちなみに、１つの頂点に対して、外角は２パターンあるよ！
例えば左上の頂点では
どちらを選んでも、同じ頂点の外角は等しいよ！（対頂角だから！！）
外角の和をド忘れしてしまったら・・？
多角形の外角の和は360° と覚えたけど、もしも、忘れてしまったら・・？
多角形ってことは、３角形も含まれる。ってことで、正三角形を考えてみればいいんだ！
正三角形の１つの内角は60°、外角は120°なので、
外角の和は120°×3＝360°
「あっ、そうそうそうそう、外角の和は360°だったね～」 と思い出そう！！
- 多角形の外角の和を忘れたら、正三角形で検証せよ！！
問題
①∠ｘを求めよ
図に示された角度は、全て三角形の外角だね？
三角形の外角の和は360°なので
∠ｘ＝360° -（114°+108°）=138°・・・（答え）
②∠ｙを求めよ
同じく、図に示された角度は、全て四角形の外角だね？
四角形の外角の和は360°なので
∠ｙ＝360° -（119°+84°+82°）=75°・・・（答え）
③正12角形の１つの内角の大きさは？
解法1：外角を用いた解法
正12角形の外角の大きさは全て等しく、外角の和は360°。
だから、１つの外角の大きさは360°÷12＝30°
１つの頂点において、内角+外角＝180°となるので
１つの内角の大きさは 180°-30°＝150°・・・（答え）
解法2：内角を直接求める解法
最初にやったことを思い出して！
「★角形」の内角の和は、180°×(★- 2)だったね
じゃあ、正12角形の内角の和は、180°×（12 – 2）＝1800°だね？？
正12角形は、すべての内角が等しいので、１つの内角は
1800°÷12＝150°・・・（答え）
さあ、次の問題！合同だ！三角形の合同条件まとめ
